penerapan turunan dalam bidang ekonomi

ContohSoal Penerapan Limit Fungsi Dalam Bidang Ekonomi. Sebagai contoh, produksi maksimum dari mesin suatu pabrik, dapat dikatakan. Tentukan nilai adalah. Sifat Limit Fungsi Aljabar. Contoh Soal Penerapan Integral Dalam Bidang Ekonomi (Christine Carr) Limit merupakan nilai pendekatan, misalkan: artinya jika x mendekati a (tetapi x ≠ a KonsepKaidah Fiqhiyah. Al-qawa'id merupakan bentuk plural (jamak) dari kata al-qa'idah yang secara kebahasaan berarti dasar, aturan atau patokan umum.Kata al-qawa`id dalam Al-Qur`an ditemukan dalam surat al-Baqarah ayat 127 dan surat an-Nahl ayat 26 juga berarti tiang, dasar atau fondasi, yang menopang suatu bangunan.. Sedangkan kata al-fiqhiyah berasal dari kata al-fiqh yang berarti Bonne Phrase D Accroche Pour Site De Rencontre. Guhisd ]uruhch & Guhisd Dhtnirca mch \nhnrcpchhyc mcacb Fdmchi Njohobd Guhisd ]uruhch mdgnrnhsdca ]uruhch ctcu mcacb bctnbcjc njohobd anfd` mdjnhca mnhich mdgnrnhsdca bnrupcjch suctu uhisd ychi mdicbfcrjch mnhich uhisd snfcicd fnrdjut ;y 2 xmy / mx 2 y— 2 —x^htuj bnhnrcpjch uhisd turuhch md ctcs jn mcacb bdjro njohobd, bcjc uhisd tnrsnfut mdjnbfchijchjn mcacb fnfnrcpc rubus-rubus mdgnrnhsdca snfcicd fnfnrcpc eohto` md fcwc` dhd ; 3. ]uruhch Guhisd Kdjc e mch h cmcac` chiiotc fdachich rnca, snfcicdbchc pnrscbcch fnrdjut ;y 2 ex 6 my / mx 2 e . h . x h-3 Eohto` ;c. y 2 x > my / mx 2 > x = f. y 2 xmy / mx 2 3e. y26x 5 my / mx 2 7x 6 6. ]uruhch suctu johstchtc Kdjc suctu johstchtc mdturuhjch bcjc scbc mnhich hoa my / mx 2 y2x 6 +35P+6my / mx 2 6x5x+6 + >. ]uruhch `csda fcid Kdjc y 2 x / ix bcjc my / mx 2 —x . ix ― x . i—x / ix 6 ctcuy 2 u / vmy / mx 2 vu— ― uv— / v 6 Eohto` ;y 2 6x 6 + x / x 5 + 5my / mx 2 x 5 + 5=x + 3-6x 6 + 35x 6 / x 5 +5 6 my / mx 2 -6x = ― 6x 5 + 36x +5 / x 5 + 5 6 6 7. ]uruhch fnrchtcd Kdjc y 2 x h bcjc my / mx 2 h . x h-3 . x Eohto` ;y 2 x 6 + 5x + 3 5 x 2 x 6 + 5x + 3 bcjc —x 2 6x + 5my / mx 2 5x 6 + 5x + 3 6 . 6x + 5ctcu iuhcjch rubus fnrdjut dhd,y 2 umy / mx 2 my / mu . mu / mxEohto` ;y 2 x 6 + 5 5 Bdscahyc, u 2 x 6 + 5, bcjcmu / mx 2 6xy 2 u 5 my / mu 2 5u 6 Kcmd, my / mx 2 5u 6 6xmy / mx 2 5x 6 + 5 6 6xGuhisd turuhch kuic mcpct mdjnbfchijch bnhkcmd fnfnrcpc rubus ychi acdh mdchtcrchyc snfcicd fnrdjut ; ― Guhisd Aoicrdtbc Fdcsc 2 aoi xmy / mx 2 3/x aoi 2 aoi umy / mx 2 3/u aoi n . mu / mxEctctch ;3< aoi n 2 3/n aoi 3< 2 3/ah31 AB atau BC > AB atau BC 0 dQ dQ 2 dAC = 0 = -8 + 2Q dQ 2Q = 8 Q=4 2 d AC = 2Q dQ 2 Untuk Q = 4, d 2 AC dQ 2 >0 Jadi pada Q = 4, maka AC minimum. Q ESPA4112/MODUL 8 Contoh 1 2 Q − 7Q + 5 , maka tentukanlah 2 jumlah output yang diproduksi pada saat MC minimum. dMC d 2 MC = 0 dan MC akan minimum apabila dipenuhi syarat >0 . dQ dQ 2 Bila MC ditunjukkan oleh persamaan MC = dMC = 0 = Q – 7 atau dQ d 2 MC Q=7 = 1 → pada Q = 7, maka d 2 MC dQ 2 dQ 2 Jadi MC minimum terjadi pada saat Q = 7. >0 Contoh 36 , berapakah biaya rata-rata minimumnya dan Q tunjukkan pada tingkat biaya tersebut berlaku MC = AC. Dari fungsi AC = 6Q + 7 + AC minimum bila dAC d 2 AC = 0 dan >0 dQ dQ 2 dAC 36 =0=6− 2 dQ Q 6= atau 36 Q2 Q =6 Q1 = − 6 Q2 = 6 2 d 2 AC dQ 2 = 72 Q3 tidak dipakai Matematika Ekonomi 1 Untuk Q = 6 , maka d 2 AC dQ 2 >0 AC minimum pada Q = Q = 6 36 AC = 6Q + 7 + Q 36 = 6 6 +7+ 6 = 6 6 +7+6 6 = 12 6 + 7 TC = AC . Q 36 Q = 6Q2 + 7Q + 36 MC = 12Q + 7 Pada Q = 6 , maka MC = 12 6 + 7 = Q6Q + 7 + Jadi Q = 6 , maka MC = AC B. PENERIMAAN Pada kebanyakan buku-buku literatur istilah yang digunakan untuk penerimaan adalah revenue. Penerimaan revenue yang dimaksud di sini adalah penerimaan produsen dari hasil penjualan outputnya. Untuk menganalisis perilaku produsen, ada beberapa konsep penerimaan yang harus dipahami lebih dahulu, yaitu a. Penerimaan Total Total Revenue disingkat TR adalah penerimaan total produsen dari hasil penjualan outputnya. Penerimaan total merupakan hasil perkalian output dengan harga jual outputnya, atau TR = Contoh Bila harga suatu barang Rp 10,00 per unit dan jumlah yang dijual 50 unit, maka penerimaan ESPA4112/MODUL 8 TR = = Rp500,00 b. Penerimaan Rata-rata Average Revenue disingkat AR adalah penerimaan produsen per unit outputnya yang dijual, atau AR = TR = =P. Q Q Dari penjabaran di atas terlihat bahwa penerimaan rata-rata besarnya sama dengan harga barang tersebut. Contoh Dari contoh 1 di atas, TR = Rp500,00 dan Q = 50, maka AR = c. TR 500 = =10 harga barang/unit Q 50 Penerimaan Marjinal Marginal Revenue disingkat MR yaitu tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu unit output, atau dTR MR = dQ Contoh Bila TR ditunjukkan oleh persamaan TR = PQQ, maka MR = = dTR dQ dPQ .Q dQ = PQ Grafik hubungan antara TR, AR dan MR tergantung pada bentuk pasar di mana perusahaan tersebut berada. Ada dua bentuk pasar yang perlu Matematika Ekonomi 1 dibicarakan di sini yaitu pasar persaingan sempurna dan pasar monopoli. Kedua pasar tersebut memberikan grafik yang berbeda. 1. Pasar Persaingan Sempurna Pasar persaingan sempurna antara lain ditandai oleh banyaknya produsen dan konsumen sehingga masing-masing pihak baik itu produsen penjual dan konsumen tidak dapat mempengaruhi harga di pasar. Harga ditentukan oleh 'pasar'. Dalam pasar persaingan sempurna, kurva permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen merupakan garis lurus horisontal. Ini berarti produsen dapat menjual outputnya dalam jumlah berapapun tanpa mengakibatkan terjadinya penurunan harga jual. Contoh Dalam pasar persaingan sempurna fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P =10 . Penerimaan totalnya TR = = 10Q TR = = P = 10 Q Q dTR Penerimaan Marjinal MR = = 10 dQ Penerimaan rata-rata AR = Jadi dalam pasar persaingan sempurna fungsi permintaan berimpit dengan fungsi penerimaan rata-rata dan penerimaan marjinalnya. Rp TR D = AR = MR 0 Q ESPA4112/MODUL 8 2. Pasar Monopoli Berbeda dengan pasar persaingan sempurna yang di dalamnya terdapat banyak penjual dan pembeli, maka dalam pasar monopoli hanya ada satu penjual sehingga tidak ada orang lain yang menyaingi. Pasar dengan hanya ada satu penjual ini disebut juga pasar monopoli murni. Karena seorang produsen monopoli adalah satu-satunya produsen di dalam suatu pasar, maka kurva permintaan yang dihadapi adalah kurva permintaan pasar, yaitu kurva permintaan yang bentuknya menurun dari kiri atas ke kanan bawah. Dalam pasar monopoli ini produsen dapat mempengaruhi harga di pasar dengan cara menjual barangnya lebih banyak atau sedikit dari yang diproduksi. Dengan perkataan lain, dalam pasar monopoli produsen dapat menetapkan harga. Contoh Fungsi permintaan yang dihadapi seorang monopoli ditunjukkan oleh persamaan P = 10 - 0,5Q Penerimaan total TR TR = = 10 - 0,5Q.Q = 10Q - 0,5Q2 Penerimaan rata-rata AR AR = TR = =P Q Q 10Q - 0,5Q 2 Q = 10 - 0,5Q = Penerimaan Marjinal MR dTR MR = dQ = 10 - Q Matematika Ekonomi 1 Dari jawaban di atas dapat dilihat bahwa kurva permintaan, AR dan MR merupakan garis lurus dan kurva permintaan berimpit dengan kurva AR. Fungsi penerimaan total TR merupakan fungsi yang tidak linier. Gambar hubungan antara kurva-kurva di atas adalah sebagai berikut Rp 10, 50 TR A 10 ε >1 B P = AR ε1 , BC merupakan daerah inelastis ε h 0 berlaku MR = P1 − 1 εh Fungsi permintaan P = a – bQ TR = = a – bQ.Q = aQ – bQ2 MR = a – 2bQ atau dapat ditulis MR = a – bQ – bQ Padahal a – bQ = P Jadi MR = P – bQ dP = b , maka dQ MR = P - dP .Q dQ Matematika Ekonomi 1 dP P .Q dikalikan = 1 , maka dQ P Bila dP P .Q. dQ P MR = P - atau MR = P – P. dP Q . dQ P Di sini dapat dilihat bahwa dP Q . = dQ P 1 = dQ P . dP Q 1 εh Sehingga MR = P – P. 1 εh Atau MR = P1 - 1 Terbukti εh Dari sini Anda dapat melihat bahwa bila MR = 0, maka 1 − 1 εh 1 εh =1 =0 atau ε h =1 Jadi, di sini kita buktikan bahwa ε h =1 terjadi pada saat MR = 0. Hal ini sesuai dengan gambar yang terdapat pada contoh 17 dan contoh 19. Contoh Fungsi permintaan P = a – bQ dengan a dan b positif memotong sumbu Q di titik D. Benarkah bahwa kurva MR memotong sumbu Q tepat di tengahtengah OD? Gambarkan grafiknya. ESPA4112/MODUL 8 Fungsi permintaan P = a – bQ Fungsi memotong sumbu Q bila P = 0 0 = a – bQ atau bQ = a Q= a , b a Jadi ordinat titik D , 0 b Penerimaan total TR = = a – bQ.Q = aQ – bQ2 Penerimaan marjinal MR = dTR dQ daQ − bQ 2 dQ = a – 2bQ = MR memotong sumbu Q, bila MR = 0 0 = a – 2bQ atau 2bQ = a Q= a 2b atau 1 a Q= . 2 b Matematika Ekonomi 1 1 a  , 0 Ordinat titik potong MR dengan sumbu Q  2b  Jadi dari hasil tersebut MR memotong sumbu Q tepat di tengah-tengah penggal garis OD. P AR = P = a - bQ MR = a – 2bQ 0 1 a 2 b a b Q L A TIH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1 Bila fungsi biaya total ditunjukkan oleh persamaan TC = 3Q 2 − 5Q + 6 Carilah persamaan MC dan AC-nya 2 Untuk fungsi biaya total TC = 1000Q – 180Q2 + 3Q3, bagaimanakah bentuk persamaan biaya marjinalnya MC dan selidiki apakah persamaan MC merupakan fungsi yang menaik atau menurun. 3 Suatu perusahaan memproduksi suatu jenis barang dengan menggunakan kurva biaya TC = 4Q − Q 2 + 2Q3 di mana TC menunjukkan biaya total dan Q menunjukkan jumlah barang yang diproduksi dalam ribuan unit. Berapa jumlah barang yang harus diproduksi agar biaya marjinalnya minimum? 4 Pada pasar persaingan sempurna buktikan bahwa kurva permintaan = AR = MR ESPA4112/MODUL 8 5 Pada pasar monopoli, buktikan bahwa kurva permintaan = AR dan jika fungsi permintaan memotong sumbu Q pada ordinat C, 0, di mana C > 1 0, maka fungsi MR memotong sumbu Q pada ordinat C, 0 2 Petunjuk Jawaban Latihan 1 TC = 3Q2 – 5Q + 6 dTC MC = dQ = 6Q – 5 TC AC = Q 3Q 2 − 5Q + 6 Q 6 = 3Q – 5 + Q = 2 TC = 1000Q – 180Q2 + 3Q3 dTC MC = dQ = 1000 – 360Q + 9Q2 dMC = - 360 + 18Q = 0 dQ Q = 20 dMC Untuk Q 20, maka dQ Jadi untuk Q 20, MC menaik dan MC minimum terjadi pada Q = 20. Matematika Ekonomi 1 3 TC = 4Q – Q2 + 2Q3 MC = 4 – 2Q + 6Q2 Agar MC minimum, maka dMC = 0 = -2 + 12Q dQ 1 Q= 6 d 2 MC dQ 2 =12 1 d 2 MC , maka >0 6 dQ 2 1 Jadi minimum pada Q = . 6 Untuk Q = 4 Pada pasar persaingan ditunjukkan oleh P = P1 TR = TR AR = = Q Q = P1 dTR MR = = dQ dQ = P1 sempurna, misalkan kurva permintaan Jadi fungsi permintaan = AR = MR 5 Misalkan kurva permintaan ditunjukkan oleh persamaan P = a - bQ TR = = aQ – bQ2 TR = a − bQ AR = Q Fungsi permintaan P + Q = 10 dapat juga ditulis P = 10 – Q TR = ESPA4112/MODUL 8 = 10 – Q.Q = 10Q – Q2 dTR MR = dQ = 10 – 2Q Pada P = 2 atau Q = 8, maka MR = 10 – 28 = -6 1 Jadi pada P = 2 berlaku hubungan MR = P1 − εh Jadi kurva permintaan = AR = a – bQ. Kurva permintaan memotong sumbu Q bila P = 0 atau 0 = a – bQ a a Q = = C dan titik potong , 0 atau C, 0 b b dTR daQ − bQ 2 = dQ dQ MR = a – 2bQ Kurva MR memotong sumbu Q bila MR = 0. 0 = a – 2bQ a 1 a Q= = 2b 2 b MR = Karena a 1 a 1 1 a = C , maka = C , dan titik potong , 0 b 2 b 2 2 b atau 1 C , 0 2 Jadi, bila fungsi permintaan memotong sumbu Q di titik C, 0, maka 1 fungsi MR memotong sumbu Q di titik C, 0 . 2 Matematika Ekonomi 1 RA NGK UMA N Biaya Tetap Rata-rata Average Fixed Cost disingkat AFC adalah TFC ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output, atau AFC = Q Biaya Variabel Rata-rata Average Variabel Cost disingkat AVC adalah semua biaya-biaya lain, selain AFC yang dibebankan pada setiap TVC . unit output, atau AVC = Q Biaya Total Rata-rata Average Total Cost disingkat ATC atau sering pula disebut biaya rata-rata dan hanya disingkat AC =Average Cost adalah biaya total yang dibebankan pada setiap unit output yang TC diproduksi atau AC = Q Biaya Marjinal Marginal Cost disingkat MC adalah tambahan biaya total karena ada tambahan produksi 1 unit output dan dirumuskan dTC . sebagai MC = dQ Kurva MC akan memotong kurva AC pada titik minimum AC. Di titik tersebut berlaku MC = AC Penerimaan Total Total Revenue disingkat TR adalah penerimaan total produsen dari hasil penjualan outputnya. Penerimaan total merupakan hasil perkalian output dengan harga jual outputnya, atau TR = Penerimaan Rata-rata Average Revenue disingkat AR adalah penerimaan produsen per unit outputnya yang dijual, atau AR = TR = = P . Penerimaan Marjinal Marginal Revenue disingkat Q Q MR yaitu tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu dTR . Dalam pasar persaingan sempurna TR unit output, atau MR = dQ merupakan garis lurus dan fungsi permintaan = AR = MR. Dalam pasar monopoli TR merupakan garis yang tidak linier. Fungsi permintaan = AR, dan MR memotong penggal garis sumbu Q dengan permintaan menjadi dua bagian yang sama panjang. ESPA4112/MODUL 8 TES FORMATIF 3 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1 Biaya total untuk memproduksi suatu jenis barang tertentu dinyatakan 1 dengan fungsi TC = Q3 − 2Q 2 + 3Q + 1 . Tentukan besarnya biaya rata3 rata AC dan biaya marjinalnya MC pada saat biaya total minimum. d A. AC = aQ + Q + C + Q MC = 2aQ2 + 2Q + C 1 d B. AC = AQ2 + bQ + C + Q MC = 3aQ2 + 2bQ + C C. AC = 3aQ2 + 2bQ + C MC = aQ + bQ + C + 1 d Q D. AC = 3aQ + Q + C MC = 2aQ2 + 2bQ + C 2 Perusahaan mainan anak-anak memiliki fungsi biaya rata-rata untuk memproduksi jenis mainan tertentu seperti berikut AC = Q 2 − 6Q + 14 Tentukan jumlah yang diproduksi Q pada saat biaya marjinalnya sama dengan biaya rata-rata 1 A. AC = 3 MC = 0 B. AC = 3 MC = 1 C. AC = 2 1 MC = 3 1 D. AC = 3 MC = 1 Matematika Ekonomi 1 3 Bila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P + 3Q = 25 berapakah AR, MR dan TR pada harga P = 4? A. AR = 2 MR = -17 TR = 20 B. AR = 4 MR = -7 TR = 8 C. AR = 2 MR = -7 TR = 20 D. AR = 4 MR = -17 TR = 28 4 Pada pasar persaingan sempurna seorang penjual menjual barang 8 unit. Berapakah AR, MR, dan TR bila fungsi permintaannya P = 20? A. AR = 10 MR = 20 TR = 100 B. AR = 20 MR = 20 TR = 100 C. AR = 20 MR = 20 TR = 160 D. AR = 20 MR = 10 TR = 170 5 Seorang monopolis mengetahui bahwa konsumen akan membeli produknya sebanyak 100 unit bila harganya Rp60,00. Kebutuhan maksimum konsumen 1000 unit. Berapa pendapatan total TR si monopolis tersebut bila harganya yang ditetapkan Rp40,00/unit? A. TR = B. TR = C. TR = Rp D. TR = Rp ESPA4112/MODUL 8 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar × 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai. Matematika Ekonomi 1 Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1 D 2 A Tes Formatif 2 1 B 2 A 3 C 4 D 5 A Tes Formatif 3 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A ESPA4112/MODUL 8 Daftar Pustaka Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner, 1996. Mathematical Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher. Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul, 1996. Introductory Mathematical Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences, Eighth Edition, Prentice Hall International Inc, Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos, 1996. Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher Limited, Jacques, Ian, 1995. Mathematics for Economics and Business, Second Edition, Addison-Wesley Publishing Company. Pindyck, Robert S and Daniel L Rubinfeld, 1998. Microeconomics, Fourth Edition, Prentice Hall International Inc. Prakin, Michael and Robin Bade, 1995. Modern Macroeconomics, Prentice Hall Canada Inc Scarborough Ontaro. Silberberg, Eugene and Wing Suen, 2001. The Structure of Economics a Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill. Kembali ke Daftar Isi TURUNAN PARSIAL & MULTIVARIABEL DAN APLIKASINYA DALAM EKONOMI Proses penurunan sebuah fungsi yang merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam pertambahan variable bebasnya sangat kecil atau mendekati nol disebut dengan Diferensiasi. Adapun hasil turunan yang diperoleh dari proses diferensiasi itulah yang disebut dengan derivatif y/x atau dy/dx. A. Kaidah diferensiasi Terdapat beberapa kaidah yang paling sering digunakan dalam pendiferensiasian, di antaranya 1. Diferensiasi konstanta k = konstanta Jika y = k Maka y′ = 0 contoh y = 4 turunan y′ = 0 2. Diferensiasi pangkat pangkat Jika y = xn maka y′ = nxn-1 contoh y = x5 turunan y′ = n. X n-1 y′ = 5 . x 5-1 y′ = 5x4 3. Diferensiasi perkalian Jika y = kv di mana v = hx , k = konstanta maka y′ = k . v′ contoh y = 2x5 k = 2 v = x5 maka v′ = 5x5-1 = 5x4 turunan y′ = k . v′ → y′ = 2 5x4 y′ = 10x4 4. Diferensiasi penjumlahan & pengurangan Penjumlahan fungsi Jika y = u + v di mana u = gx , v = hx maka y′ = u′ + v′ contoh y = 2x5 + x2 u = 2 x5 maka u′ = = 10x4 v = x2 maka v′ = 2x2-1 = 2x turunan y′ = u′ + v′ → y′ = 10x4 + 2x Pengurangan fungsi Jika y = u - v di mana u = gx , v = hx maka y′ = u′ - v′ contoh y = 2x5 - x2 u = 2 x5 maka u′ = = 10x4 v = x2 maka v′ = 2x2-1 = 2x turunan y′ = u′ - v′ → y′ = 10x4 - 2x B. Turunan dari turunan Contoh y = fx = 4x3 - 6x2 + 3x – 8 y′ = f′x = 12x2 - 6x + 3 y′′ = f′′x = 24x – 6 y′′′ = f′′′x = 24 yIV = fIVx = 0 C. Hubungan Antara Fungsi dan Turunannya 1. Titik Ekstrim Fungsi Parabolik Yang digunakan adalah turunan pertama y′ = f′x dan turunan kedua y′′ = f′′x. Turunan pertama digunakan untuk menentukan letak titik ekstrim. Jika f′x = 0 maka y = fx berada pada titik ekstrimnya. Turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik ekstrimnya. Jika f′′x 0 maka titik ekstrimnya minimum dan kurvanya berbentuk parabola terbuka ke atas. Contoh Tentukan titik ekstrim dan koordinatnya dari fungsi y = 6x2 - 8x + 1! Penyelesaian y = 6x2 - 8x + 1 → f′x = 12x – 8 f′′x = 12 > 0 minimum-terbuka ke atas koordinat y′ = 0 → 12x – 8 = 0 → x = 8/12 = 0,67 x = 0,67 → y = 60,672 - 80,67 + 1 = -1,66 jadi, titik minimum kurva tersebut terdapat pada koordinat 0,67; -1,66 2. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik Yang digunakan adalah turunan pertama y′ = f′x dan turunan kedua y′′ = f′′x. Turunan pertama digunakan untuk menentukan letak titik ekstrim. Jika f′x = 0 maka y = fx berada pada titik ekstrimnya. Turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik ekstrim dan letak titik beloknya. Jika f′′x 0 pada y′ = 0, maka titik ekstrimnya minimum. Jika y′′ = 0 maka y = fx berada pada titik beloknya. Contoh Tentukan titik ekstrim dan titik belok dari fungsi y = x3 - 5x2 + 3x - 5! Penyelesaian y = x3 - 5x2 + 3x – 5 → f′x = 3x2 – 10x + 3 f′′x = 6x – 10 syarat titik ekstrim y′ = 0 → 0 = 3x2 – 10x + 3 x1 = 3 x2 = 0,3 untuk x = x1 = 3 → y = x3 - 5x2 + 3x – 5 y = 33 – 532 + 33 – 5 = -14 y′′ = 6x – 10 y′′ = 63 – 10 = 8 8>0...minimum untuk x = x1 = 0,3 → y = x3 - 5x2 + 3x – 5 y = 0,33 – 50,32 + 30,3 – 5 = -4,5 y′′ = 6x – 10 y′′ = 60,3 – 10 = -8,2 -8,2 syarat titik belok y′′ = 0 → 0 = 6x – 10 x = 1,67 y = x3 - 5x2 + 3x – 5 y = 1,673 – 51,672 + 31,67 – 5 = -9,27 y′ = 3x2 – 10x + 3 y′ = 31,672 – 101,67 + 3 = -5,33 jadi, fungsi kubik tersebut berada pada titik minimum di koordinat 3,-14 dan titik maksimum pada koordinat 0,3;-4,5 serta titik belok pada koordinat 1,67;-9,27. D. Turunan Fungsi Multivariabel Prinsip dan kaidah turunannya sama dengan fungsi bervariabel bebas tunggal, hanya saja pada turunan fungsi multivariable ini akan ditemui turunan parsial turunan bagian demi bagian dan turunan total. Pada fungsi multivariable, karena variable bebasnya lebih dari satu macam maka turunan yang akan dihasilkan juga lebih dari satu macam. Bentuk umumnya Jika y = f x,y maka turunannya 1. Turunan y terhadap x → y / x 2. Turunan y terhadap z → y / z Sehingga 1. y = fx,z a. fx x,z =y′x = x′ b. fz x,z = y′z = z′ y′ = x′ + z′ 2. p = fq, r, s a. fq q, r, s = p′q = q′ b. fr q, r, s = p′r = r′ c. fs q, r, s = p′s = s′ p′ = q′ + r′ + s′ 3. y = fx,z fx x,z =y′x = x′ fz x,z = y′z = z′ y = fx =y′ = x′ z′ = y′x + y′z x′ Notes v y′x, y′z, p′q, p′r, dan p′s disebut turunan parsial. v y′ disebut turunan fungsi variabel tunggal v z′ disebut turunan total Contoh Carilah turunan parsial dan turunan total dari fungsi Z = fX,Y = 2X5 – 4Y + 10 dan Y = 2X + 3 Diketahui Z = fX,Y = 2X5 – 4Y + 10 Y = 2X + 3 Ditanya ZX….? ZY….? z′ ….? Penyelesaian v Turunan Parsial ZX = Z′x = 10X4 ZY = Z′y = -4 y′ = 2 v Turunan Total z′ = Z′x + Z′y y′ = 10X4 + -42 = 10X4 - 8 E. Penerapan Konsep Turunan Parsial 1 Variabel Dalam ekonomi 1. Elastisitas Bentuk umum η = Ey = lim = y′ . x Ex x→0 y Macam-macam elastisitas a Elastisitas Permintaan Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika Qd = fP maka elastisitas permintaannya adalah ηd = %Qd = EQd = lim = Q′d . P %P EP P→0 Qd jika ηd > 1 maka elastik, jika ηd 1 ...... elastik jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik turun sebesar 1% sehingga jumlah barang yang diminta akan berkurang bertambah sebanyak 2%. Catatan dalam elastisitas permintaan, untuk menentukan jenis elastisitas yang dibandingkan adalah angka hasil perhitungan sehingga tanda yang dihasilkan +/- dapat diabaikan karena tanda tersebut hanya mencerminkan hukum permintaan bahwa jumlah yang diminta bergerak berlawanan arah dengan harga. Fungsi permintaan juga sering dinotasikan dengan persamaan D = fP. b Elastisitas Penawaran Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga. Jika Qs = fP maka elastisitas penawarannya adalah ηs = %Qs = EQs = lim = Q′s . P %P EP P→0 Qs jika ηs > 1 maka elastik, jika ηs 1 ...... elastik jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik sebesar 1% sehingga jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 2%. c Elastisitas Produksi Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah keluaran output yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan input yang digunakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P = jumlah produk yang dihasilkan & X = jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi P = fX maka elastisitas produksinya adalah ηp = %P = EP = lim = P′ . X %X EX X→0 P jika ηs > 1 maka elastik, jika ηs 1 berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah kompetitif/substitutif saling menggantikan, di mana penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang lainnya. Contoh Fungsi permintaan barang A terhadap barang komplementer ditunjukkan dengan persamaan QA = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y. Carilah elastisitas harga-permintaan, elastisitas silang-permintaan dan elastisitas penghasilan dari permintaan pada saat PA = 30, Ps = 10 dan Y = Diketahui Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y PA = 30 Ps = 10 Y = Ditanya εd….? εC….? εY….? Penyelesaian Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y Q = 2300 – 1030 + 510 + 0,45000 = 2300 – 300 + 50 + 2000 = Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y → P′A = -10 εd = Q′d . PA = -10 . 30 / = -10 0,007 = -0,07 in-elastis Q Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y → P′s = 5 εC = Q′s . Ps = 5 . 10 / 4050 = 5 0,002 = 0,01 in-elastis Q Q = 2300 – 10PA + 5Ps + 0,4Y → P′y = 0,4 εY = Y′ . Py = 0,4 . 5000 / 4050 = 0,4 1,23 = 0,49 in-elastis Q analisis ey = 0,49 0 sehingga membawa pengaruh positif terhadap barang A, di mana jumlah permintaan barang A dapat berkurang.

penerapan turunan dalam bidang ekonomi